Gyorskeresés

A Bohr-modell 6231

Az előd: a Rutherford-modell

A Rutherford-kísérlet nyomán kialakult az elképzelés, hogy az összességében semleges atomokban a negatív elektronok mellett szükségszerűen jelen lévő pozitív töltés az atom közepén egy igen kicsi térrészben - az atommagban - kell koncentrálódjon. A pici atommag az atomnál 100 000‑szer kisebb átmérőjű, mégis ő hordozza az atom össztömegének 99,9%‑át, körülötte pedig "keringenek" az elektronok, mint bolygók a Nap körül. Ezzel meg is született az atomok Rutherford-féle modellje.

A Rutherford-féle atommodellel azonban már a megszületése pillanatában azonnal két óriási probléma adódott:

1. Ha az elektron az atommag köröl körpályán kering, akkor folyamatosan

\[a_{cp}=\frac{v^2}{r}=r{\omega }^2\]

centripetális gyorsulása van. Ezért, mint minden gyorsuló töltés, állandóan elektromágneses sugárzást (elektromágneses hullámokat) kellene kibocsásson. A sugárzás miatt pedig folyamatosan energiát kellene veszítenie, amitől egyre csak lassulna, és az atommag vonzása miatt spirális pályán egyre jobban közeledne az atommaghoz, mígnem végül bele is zuhanna az atommagba, vagyis a sugárzás miatt egy "halálos spirálba kerülne":



A számítások szerint például hidrogénatom esetén ez az egész folyamat olyan gyorsan le kellene hogy játszódjon, hogy az elektron mindössze $1,6\cdot {10}^{-11}\ s$ múlva belezuhanna a magba. Ezzel szemben az atomokat stabil képződményeknek tapasztaljuk. Tehát vagy az van, hogy az elektron valami miatt mégsem sugároz az atom körüli - gyorsulással járó - keringése közben, megszegve az elektrodinamika jól ismert törvényszerűségeit, vagy esetleg egyáltalán nem is kering körülötte, de akkor meg mit csinál ott, miért nem zuhan bele egyből a magba?

2. A másik probléma az volt, hogy már a 19. században ismertté vált, hogy a gázkisüléssel gerjesztett gázok által kibocsátott fény nem tartalmaz mindenféle frekvenciát, vagyis nem folytonos a spektruma, hanem csak bizonyos \(f\) frekvenciájú, \(\lambda\) hullámhosszúságú komponenseket tartalmaz. Például a hidrogéngáz a látható tartományban csak \(656,3\ \mathrm{nm}\); \(486,1\ \mathrm{nm}\); \(434,0\ \mathrm{nm}\); \(410,2\ \mathrm{nm}\) stb hullámhosszúságú sugárzást bocsát ki.



Mivel Einstein 1905-ben a fotoeffektus értelmezésekor bevezette, hogy a fény energiaadagjai (a fotonok) $E_{foton}=h\cdot f$ energiájúak, ebből arra lehetett következtetni, hogy egy atomi elektron energiája is csak bizonyos értékeket vehet fel, mivel az egyes állapotok közötti átmenetek energiakülönbségei csak bizonyos nagyságúak lehetnek.


Niels Bohr hidat épít a klasszikus fizikából a modern fizika felé

Egyértelmű volt, hogy a Rutherford-féle atommodell továbbfejleszése (a Bohr-féle atommodell megalkotása) során Bohrnak ezt a két problémát valahogy orvosolnia kell. Tehát az atom új modelljében valahogyan el kell érni, hogy az elektron ne sugározzon, és az elektron energiája ne lehessen folytonosan változó értékű, hanem csak bizonyos meghatározott értékeket vehessen fel. Az első probléma esetében Bohr tehetetlen volt, hiszen az elektronnak muszáj mozgásban lennie a mag körül, hiszen ha álló helyzetben lenne, akkor az atommag azonnal magába rántaná. Viszont az elektrodinamika Maxwell által egyesített törvényei - melyek szerint a keringő elektronnak sugároznia kellene - olyannyira stabilak, a tapasztalattal mindig egyezőnek bizonyultak, hogy az elektrodinamikát nem volt mersze megkérdőjelezni (ez utólag is jó döntésnek bizonyult). A második probléma kezelése nem volt nehéz, így Bohr kezelési javaslata nagy vonalakban a következő volt a két problémára:

  1. Egyszerűen "meg kell tiltani", hogy egy elektron az atom körüli pályáin keringve sugározzon; mondjuk azt, hogy bizonyos pályákon "mentesül" a sugárzás kényszere alól.
  2. Az elektron számára nem szabad megengedni, hogy akárhogyan, akármekkora sebességgel, akármekkora sugarú körpályán keringjen, hanem valami megkötést kell tenni a "számára megengedett" pályákra.

Bohr ezt a két problémát a Bohr-modellben két posztulátummal oldotta meg. A posztulátum olyan kiinduló feltevés, melynek érvényességét nem vizsgáljuk, nem feszegetjük. Hanem a posztulátumból kiindulva számításokat végzünk konkrét dolgokra (például kiszámítjuk a hidrogénatom elektronjainak energiaszintjeit), és majd a számítás eredményeit vizsgáljuk meg, hogy összhangban vannak-e a tapasztalattal. Ha igen, akkor az egyezés utólag, közvetett módon megerősíti a kiinduló feltevések helyességét. Szigorú értelemben nem bizonyítja a posztulátumokat, de megnyugtathat minket, hogy jó úton járunk. Bohr posztulátumai a következők voltak:

A Bohr-modell vállaltan korcs elmélet: félig még klasszikus, de félig már modern. Az elektront még klasszikus szemlélettel, az atommag körül keringő golyóként írja le, de a pályafeltételben már olyan szerepel benne, ami a klasszikus fizika számára felfoghatatlan: egy fizikai mennyiség értéke ugyanis itt már nem változhat meg tetszőlegesen kis értékkel, hanem csak meghatározott lépésekkel, ugrásokkal. Bohr tisztában volt vele, hogy ezek miatt a modellje nem lehet az atomi elektron leírásának teljes, végő leírása, de akkor még (1913-ban) nem volt lehetősége jobbra. Nem kellett sokat várnia, mire egykori tanítványai felépítették az új fizikát: az 1920-as évek végén megszületett a kvantummechanika, mely az atomi elektron teljes, pontos leírását adja (csak sajnos már nem olyan szemléletes, könnyen elképzelhető, mint a klasszikus mechanika).

Számítsuk most ki a posztulátumokból a legegyszerűbb atom, a hidrogénatom egyetlen elektronjának pályáit, annak energiáit, és vessük össze a pályák energiakülönbségeit a hidrogén emissziós (kibocsátái) spektrumvonalainak megfelelő energiákkal!
 

Az \(r_n\) pályasugarak

Induljunk ki abból, hogy a hidrogánatomban a proton körül keringő elektronra mekkora Coulomb-erő hat:

\[F_C=k\cdot \frac{Q_1\cdot Q_2}{r^2}\]

Mivel a töltése a protonnak is és az elektronnak is $e$ elemi töltés nagyságú, ezért

\[F_C=k\cdot \frac{e^2}{r^2}\]

Azért nem kellett foglalkoznunk azzal, hogy az elektron töltése negatív, a protoné pozitív, mert a töltések előjelei csak az ébredő erő irányára vannak hatással, a nagyságára nem, mi pedig tudjuk, hogy a Coulomb-erő pont olyan irányú, amilyen centripetális gyorsulása van az elektronnak, hisz a Coulomb-erő egymaga biztosítja az elektron centripetális gyorsulását (a proton és az elektron között ébredő gravitációs vonzás kb. 1039-szer gyengébb, mint a Coulomb-erő).

Ez a Coulomb-erő tartja körpályán az elektront, tehát ez biztosítja a centripetális erőt, ami általában:

\[F_{cp}=m\cdot \frac{v^2}{r}\]

alakú. Tehát:

\[k\cdot \frac{e^2}{r^2}=m\cdot \frac{v^2}{r}\]

\[k\cdot e^2=m\cdot r\cdot v^2\]

Vegyük ehhez hozzá Bohr I. posztulátumát:

\[m\cdot v\cdot r=n\cdot \frac{h}{2\pi }\]

Fejezzük ki ebből a $v$ sebességet:

\[v=\frac{n\cdot h}{2\pi \cdot m\cdot r}\]

\[v^2=\frac{n^2\cdot h^2}{4{\pi }^2\cdot m^2\cdot r^2}\]

Ezt írjuk be az erőket tartalmazó egyenletbe:

\[k\cdot e^2=m\cdot r\cdot \frac{n^2\cdot h^2}{4{\pi }^2\cdot m^2\cdot r^2}\]

\[k\cdot e^2=\frac{n^2\cdot h^2}{4{\pi }^2\cdot m\cdot r}\]

Ezt kirendezve a körpálya sugarára:

\[r=\frac{n^2\cdot h^2}{4{\pi }^2\cdot m\cdot k\cdot e^2}\]

vagy  szokásos jelölésekkel, ha a sugár alsó indexében $r_n$ formában jelezzük, hogy az az $n$ kvantumszám függvényében hányadik sugár:

\[r_n=\frac{h^2}{4{\pi }^2\cdot m\cdot k\cdot e^2}\cdot n^2\]

vagy a redukált Planck-állandóval:

\[r_n=\frac{{\hslash }^2}{m\cdot k\cdot e^2}\cdot n^2\]

Azt látjuk, hogy a körpályák sugarai az $n$ kvantumszám négyzetével nőnek, vagyis a legkisebb sugárnak 4-szerese, 9-szerese, 16-szorosa stb a többi pálya sugara.

A legkisebb pályasugár értéke hidrogénatomra behelyettesítve:

\[r_0=0,053\ nm\]

Kissé zavarosnak tűnhet, hogy a legkisebb sugarú pályát, mely esetében $n=1$, nem úgy jelöljük, mint az 1. pálya, hanem mint a 0. (nulladik). Ennek oka, hogy ez a legalacsonyabb energiájú pálya, ezért ezt alapállapotúnak nevezzük, az összes többit pedig gerjesztett állapotúnak. Emiatt az 1. gerjesztett pálya már a 2. pályát jelenti.
 

A \(v_n\) "keringési" sebességek

Számítsuk ki, hogy mennyi a kerületi sebessége az elektronnak az egyes pályákon! Ehhez a korábbi

\[v=\frac{n\cdot h}{2\pi \cdot m\cdot r}\]

egyenletbe beírjuk az imént kapott

\[r_n=\frac{h^2}{4{\pi }^2\cdot m\cdot k\cdot e^2}\cdot n^2\]

kifejezést:

\[v=\frac{n\cdot h}{\displaystyle 2\pi \cdot m\cdot \frac{h^2}{4{\pi }^2\cdot m\cdot k\cdot e^2}\cdot n^2}\]

a műveleteket elvégezve és megint alsó indexben jelezve, hogy melyik, az $n$ kvantumszámmal jelzett pálya sebességéről van szó:

\[v_n=\frac{2\pi \cdot k\cdot e^2}{h}\cdot \frac{1}{n}\]

vagy redukált Planck-állandóval:

\[v_n=\frac{k\cdot e^2}{\hslash }\cdot \frac{1}{n}\]

Tehát az elektron sebessége az egyre nagyobb $n$ kvantumszámú, és egyre nagyobb sugarú (távolabbi) pályákon egyre kisebb.

A legelső pályán, azaz az $n=1$ esetben, amit a nulladik, alapállapotú esetnek nevezünk, az elektron sebessége:

\[v_0=2,18\cdot {10}^6\ \frac{m}{s}\]

Ez elsőre óriási sebességnek tűnik, de ha jobban megnézzük, ez a fénysebességnek még kevesebb, mint 1%-a csak.
 

Az elektron mozgási energiája

Számítsuk ki, hogy mekkora az elektron mozgási (kinetikus) energiája az egyes pályákon (természetesen továbbra is nemrelativisztikus esetben)! Ehhez használjuk a mozgási energia képletét:

\[E^{kin}=\frac{1}{2}m{\cdot v}^2\]

\[E^{kin}_n=\frac{1}{2}m{\left(\frac{k\cdot e^2}{\hslash }\cdot \frac{1}{n}\right)}^2\]

\[E^{kin}_n=\frac{m\cdot k^2{\cdot e}^4}{2\cdot {\hslash }^2}\cdot \frac{1}{n^2}\]

Behelyettesítve az értékeket:

\[E^{kin}_n=2,18\cdot {10}^{-18}\ J\cdot \frac{1}{n^2}\]
 

Az elektron potenciális energiája

Számítsuk ki, mekkora az elektron elektromos potenciális energiája az egyes pályákon. Általában egy erő miatt jelentkező potenciális energiának a jelentése az, hogy mekkora munkát végez az adott kölcsönhatás ereje, miközben a két testet végtelen távolságra visszük el egymástól:

\[E^{pot}=k\cdot \frac{Q_1\cdot Q_2}{r}\]

Itt most van jelentősége a töltések előjelének is: az atommag (proton) pozitív elemi töltésű, az elektron viszont negatív elemi töltésű:

\[E^{pot}=k\cdot \frac{e\cdot \left(-e\right)}{r}\]

\[E^{pot}=-k\cdot \frac{e^2}{r}\]

A potenciális energia negatív előjele azt jelenti, hogy a Coulomb-erő munkája negatív lenne, miközben az elektron a protontól a végtelen távolba jutna el. Ugyanis a Coulomb-erő vonzó közöttük, tehát a széthúzást folyamatosan akadályozni próbálja. Vagyis a Coulomb-erő és az elmozdulás ellentétes irányúak, ilyenkor a munkavégzés negatív.

Írjuk be az $r_n$ pályasugarakra korábban kapott kifejezést:

\[r_n=\frac{h^2}{4{\pi }^2\cdot m\cdot k\cdot e^2}\cdot n^2\]

\[E^{pot}_n=-k\cdot \frac{e^2}{\frac{\displaystyle h^2}{4{\pi }^2\cdot m\cdot k\cdot e^2}\cdot n^2}\]

\[E^{pot}_n=-\frac{{4{\pi }^2\cdot e}^4\cdot m\cdot k^2}{h^2}\cdot \frac{1}{n^2}\]

vagy redukált Planck-állandóval:

\[E^{pot}_n=-\frac{m\cdot k^2\cdot e^4}{{\hslash }^2}\cdot \frac{1}{n^2}\]

Azt látjuk, hogy az elektromos kölcsönhatás potenciális energiája az alapállapotban a legnagyobb abszolút értékű, de mindig negatív. Konkrét értéke:

\[E^{pot}_n=-4,36\cdot {10}^{-18}\ J\cdot \frac{1}{n^2}\]

Tehát azt látjuk, hogy alapállapotban a potenciális energia pont 2-szer akkora (és negatív értékű), mint a mozgási energia.


Az elektron teljes energiája

Nézzük most az elektron teljes (totális) energiáját:

\[E^{tot}=E^{kin}+E^{pot}\]

\[E^{tot}_n=\frac{m\cdot k^2{\cdot e}^4}{2\cdot {\hslash }^2}\cdot \frac{1}{n^2}-\frac{m\cdot k^2\cdot e^4}{{\hslash }^2}\cdot \frac{1}{n^2}\]

\[E^{tot}_n=-\frac{m\cdot k^2{\cdot e}^4}{2\cdot {\hslash }^2}\cdot \frac{1}{n^2}\]

Behelyettesítve az értékeket természetesen ugyanakkora nagyságú értéket kapunk (csak ellentétes előjellel), amit a mozgási energiánál:

\[E^{tot}_n=-2,18\cdot {10}^{-18}\ J\cdot \frac{1}{n^2}\]

vagy SI prefixummal:

\[E^{tot}_n=-2,18\ aJ\cdot \frac{1}{n^2}\]

illetve az atomfizikában szokásos energiamértékegységgel az $eV$ elektronvolttal kifejezve:

\[E^{tot}_n=-13,6\ eV\cdot \frac{1}{n^2}\]

Az elektron energiaszintjeit méretarányos ábrán ábrázolva:

 

Átmenetek a pályák között

Két stacionárius pálya közötti átmenet során az elektron az energiakülönbségét leadja vagy felveszi. Amikor magasabb energiájú pályára lép, azt gerjesztésnek nevezzük, amikor pedig alacsonyabb energiájú pályára, azt legerjesztődésnek. Az energia leadása/felvétele történhet fotonok segítségével, de máshogy is: például ütközés révén is kaphat annyi energiát, hogy feljusson valamelyik magasabb energiájú pályára, illetve energiát is veszíthet fotonkibocsátás nélkül (ezt hívjuk sugárzás nélküli legerjesztődésnek.

Az alábbi ábrán azt látjuk, hogy az $n=3$ kvantumszámú, $E_3$ energiájú pályáról az elektron legerjesztődik az $n=2$ kvantumszámú, $E_2$ energiájú pályára, és az $E_3-E_2$ energiakülönbségét kisugározza egy foton formájában:

A következő ábrán ennek a folyamatnak a megfordítottját látjuk: az $n=2$ kvantumszámú, $E_2$ energiaszinten lévő elektron elnyel egy $E_3-E_2$ energiájú fotont, és ennek révén feljut (gerjesztődik) az $n=3$ kvantumszámú, $E_3$ energiájú pályára:

 

Színképvonal sorozatok a hidrogén színképében
A hidrogénatom néhány átmenetét mutatja az alábbi, már nem méretarányos ábra:

Mivel az $n=1$ kvantumszámú pálya energiája 4-szer olyan mélyen van, mint az $n=2$ kvantumszámú és 9-szer olyan mélyen, mint azt $n=3$ kvantumszámú, ezért az $n=1$ pályát tartalmazó átmenetek jóval nagyobb energiájúak, mint bármelyik többi. Ehhez hasonlóan ha az elektron az $n=2$ pályáról lép fel bármelyik energiaszintre is, az is jóval nagyobb energiájú, mint amikor az $n=3$ pályáról lép fel. Emiatt az energiakülönbségek a nagyságuk szerint csoportokat alkotnak: az $n=1$ pályát tartalmazók messze a legnagyobb energiájúak, a többi közül az $n=2$ pályát tartalmazók jóal nagyobb energiájúak, mint a maradék,és így tovább. Emiatt az $n=1$ pályát tartalmazó átmenetek a nem látható ultraibolya (UV) tartományba esnek (ez a Lyman-sorozat), a többi közül az $n=2$ -t tartalmazók a már kisebb fotonenergiát jelentő látható fény tartományába (ez a Balmer-sorozat), a többiek pedig már a még kisebb fotonenergiájú infravörös (IR) tartományba. Történelmileg először a látható fény tartományába eső, később Balmer-sorozatnak nevezett színképvonalakat fedezték fel (Balmer egy svájci középiskolai fizikatanár, de nem ő fedezte fel ezeket a színképvonalakat, hanem ő talált rendszert a színképvonalak hullámhosszai között, amit akkor, 1885-ben nem értett senki, az majd csak 1913-ban a Bohr-modell segítségével vált érthetővé). Egy kémiai elemnek spektrumából a látható tartománba eső egyes színképvonalait szokás jelölni görög betűkkel. Például a hidrogén esetében $H_{\alpha}$, $H_{\beta}$, $H_{\gamma}$ a színképvonalak jele.

A hidrogén energiaszintjeit méretarányosan ábrázolva az első 5 spektrum csoport:

Ha ki akarjuk emelni, hogy a Balmer-sorozat a látható fény (VL, visible light) tartomyánab tartozik, akkor így ábrázolhatjuk:

Ha a hidrogén spektrumát a \(\lambda\) hullámhossz tengelyen ábrázoljuk, akkor a spektrum csoportjai így jelennek meg:


A Bohr-modell eredményei és korlátai

A Bohr-modell sikerrel leírta:

  • a hidrogénatom energiaszintjeit
  • minden egyelektronos ("hidrogénszerű") ion színképvonalait (He+, Li2+, Be3+, B4+, C5+)
  • a normális Zeeman-effektust (a színképvonalak 2 vagy 3 vonalra történő felhasadását mágneses mezőben)

Azonban számos esetet már nem tudott leírni, megmagyarázni:

  • a többelektronos atomok és ionok színképvonalait (mert az elektronok közötti, roppant bonyolult kölcsönhatásokat nem tudja figyelembe venni)
  • a molekulák színképvonalait
  • a kémiai kötéseket
  • az anomális Zeemnan-effektust (amikor mágneses mezőben a spektrumvonalak a normális esetnél több vonalra hasadnak szét, illetve amikor bár a jósolt darabszámú vonalra hasadnak szét, de a felhasadások nem a normális módon függenek a mágneses mezőtől)
  • a színkép finomszerkezetét (nagyon érzékeny spektrométerben a vonalak helyén mágneses mező nélkül is több vonal látszik)


A Bohr-modell értékelése

A Bohr-modell a klasszikus fizika egy csúcspontja, de egyben a haláltusája is. Talán a fizikatörténet utolsó nagy elmélete, mely még rendesen felfogható középiskolás szinten. Átvezetett az új világba, ahol az addigi szemléletes képek és folytonos függvények helyett már a nehezen szemléltethető magasszintű matematika (komplex függvények, mátrixok, tenzorok és operátorok) használata elkerülhetetlen, cserébe a számítások rendkívüli egyezésben vannak a tepasztalatokkal.