Gyorskeresés

A kvantummechanikai atommodell 4493

Milyen értékeket vehet fel egy fizikai mennyiség?

A newtoni mechanikában a fizikai mennyiségek lehetnek skalárisak vagy vektoriálisak (illetve léteznek tenzoriális mennyiségek is, mint a mechanikai deformáció és a mechanikai feszültség, de most csak arra szorítkozunk, ami a középiskolai anyag megértéséhez szükséges).

Egy skaláris fizikai mennyiséget egy szám jelenít meg (reprezentál), például egy test energiája:

\[E=80\ J\]

Egy vektoriális fizikai mennyiséget pedig számhármas jelenítik meg, például egy test sebességének a derékszögű koordinátarendszerben van három sebességkomponense:

\[v_x=5\ \frac{m}{s}\]

\[v_y=2\ \frac{m}{s}\]

\[v_z=-3\ \frac{m}{s}\]

Illetve a 3 sebességkomponenst egybeírva is megjeleníthetjük, vektorként:

\[\displaystyle \overrightarrow{v}=\left(5\ \frac{m}{s};\ 2\ \frac{m}{s};-3\ \frac{m}{s}\right)\]

A fizikai mennyiségeket megjelenítő számértékek az időben változhatnak. Vajon akárhogyan? Nem, csak folytonosan, azaz végtelen sok, végtelenül kicsi apró lépésen keresztül, tehát nem lehetnek "hirtelen" ugrások az egymást közvetlenül követő értékekben. Például ha egy test sebessége a folyamat elején nulla, a végén pedig már \(\displaystyle 5\ \frac{m}{s}\), akkor a sebesség a folyamat során a nulla és az 5 között minden lehetséges értéket "folytosan" kénytelen felvenni (ami persze végtelen sok értéket jelent, hiszen a számegyenesen a nulla és az 5 között végtelen sok szám van).

Tehát egy fizikai mennyiség időbeli alakulását a klasszikus mechankiában egy egyértelmű hozzárendelés (vagyis függvény) jelenít meg, méghozzá folytonos függvény. Úgy is fogalmazhatunk, hogy a klasszikus fizika mindig "folytonos függvényekkel operál". Egy függvényt felfoghatunk úgy, hogy számokhoz rendel számokat, például egy \(v\thinspace \unicode{x2013}\thinspace t\) sebesség-idő függvény, amit

\[v=v\left(t\right)\]

szimbólummal jelölünk, a \(t_1;\ t_2;\ t_3...\) időpillanatokat jelentő számokhoz hozzárendeli az éppen akkori \(v_1;\ v_2;\ v_3...\) sebesség számértékét. Más szóval a függvény olyan művelet, mely számokat transzformál másik számokká.

A kvantummechanikát az hívta életre, hogy a 19. század végén egyértelművé vált, hogy számos jelenséget csak úgy tudunk értelmezni, ha feltételezzük, hogy például egy atom energiája nem folytonosan veszi fel a lehetséges értékeket, hanem csak bizonyos (diszkrét) értékeket vehet fel, vagyis csak ugrásszerűen változhat. Például az atomos hidrogéngáz színképe alapján a hidrogénatom elektronjának energiája az alapállapotból kiindulva nem lehet annál akármilyen kicsi értékkel nagyobb, hanem csak \(10,2\ eV\)-tal vagy \(12,09\ eV\)-tal vagy \(12,75\ eV\)-tal stb lehet nagyobb:

 

Ez a hétköznapi szemléletünkkel ellenkezik, hiszen "miért ne nőhetne meg csupán egy icipicivel az energiája valaminek?".

Mivel a kvantummechanika által vizsgált rendszerekben egyes fizikai mennyiségek nem folytonosan veszik fel az értékeiket, ezért a newtoni mechanika matematikája (mely folytonos függvényekkel írja le a fizikai mennyiségeket) eleve nem működhet, kell tehát egy újfajta matematika, melyben a fizikai mennyiségek csak meghatárpzptt (diszkrét) értékeket fognak felvenni. A kvantummechanikában a fizikai mennyiségeket nem számok (illetve számhárasok) reprezentálják, hanem operátorok. Egy operátor olyan művelei utasítás, mely egy függvényekhez rendel egy másik függvényt, más szóval egy függvényt transzformál egy más függvénnyé. Például az impulzus x-komponensének operátora az x-koordináta szerinti deriválás (a \(\displaystyle \frac{\hbar}{i}\) konstanssal szorozva), ahogy azt az MIT-n is oktatják:

Az energia operátora pedig az idő szerinti deriválás (a \(\displaystyle -\frac{\hbar}{i}\) konstanssal szorozva). Az atomi elektron kvantummechanikai tárgyalásában felírjuk az elektronra a Schrödinger-egyenletet, szerepeltetve benne az elektron "életét" befolyásoló, az ő környezetét jellemző potenciálfüggvényeket. Ilyen potenciálfüggvény például az atomi elektron esetében az atommagot körülvevő elektromos mező, mely fogva tartja az elektront az atomban, illetve többelektronos esetben a többi elektron által keltett elektromágneses mezők. Ezután a Schrödinger-egyenletet meg kell megoldani, ami nem könnyű, és a legegyszerűbb eseteket kivéve analitikusan nem is tehető meg, hanem csak numerikus közelítő módszerekkel (szerencsére a mai számítógépek számára ez már elvégezhető feladat). A Schrödinger-egyenlet egy komplex függvényű differenciálegyenlet, melynek megoldásai nem egyszerű számok (mint a matek órán megszokott egyenleteknek), és nem is valós függvények, mint amik a newtoni mechanika mozgásegyenletének (ami már differenciálegyenlet) megoldása során előálló \(\overrightarrow{r}\left(t\right)\) helyvektor-idő föggvény, a \(\overrightarrow{v}\left(t\right)\) sebességvektor-idő függvény és a \(\overrightarrow{a}\left(t\right)\) gyorsulás-idő függvény. Hanem itt a megoldások energiasajátértékekből, és hozzájuk tartozó (komplex) sajátfüggvényekből állnak. A megoldásul adódó energiasajátértékek mutatják az elektron összenergiáját, a hozzájuk tartozó sajátfüggvények pedig részletezik az elekron "pályáját", ebből számolható az elektron térbeli megtalálási valószínűsége. Az egyenlet megoldása során megjelenő, az egyes megoldásokat (sajátértékeket és sajátfüggvényeket) jellemző számokat kvantumszámoknak hívjuk.

A Schrödinger-egyenletből csak elektronpályák és energiák adódnak ki, azonban a tapasztalat szerint minden elektronpályán két (különböző spinű) elektron tartózkodhat (a spinrő lejjebb még részletesen lesz szó). Továbbá a Schrödinger-egyenlet megváltozik, ha áttérünk egy másik vonatkoztatási rendszerre, mely az eredeti rendszerhez képest egyenletes haladó (transzlációs) mozgást végez, azaz a Schrödinger-egyenlet nem invariáns a Lorentz-transzformációval szemben. A Schrödinger-egyenlet továbbfejlesztett változata a Dirac-egyenlet, mely az elektronspint is automatikusan tartalmazza, és Lorentz-invariáns is.

A kvantumszámok a következők:

  • $n$ főkvantumszám
  • $l$ mellékkvantumszám
  • $m$ mágneses kvantumszám
  • $s$ spinkvantumszám

Minden elektront a 4 kvantumszáma jellemez. Az atomi elektronokra vonatkozik a Pauli-féle kizárási elv. Emiatt egy atomon belül az elektronoknak nem lehet minden kvantumszáma azonos.

Az $n$ főkvantumszám (principal quantum number)

A főkvantumszám az elektronpályán tartózkodó elektron energiáját legerősebben befolyásoló kvantumszám. Hidrogénszerű, azaz csak egyetlen elektront tartalmazó atom/ion esetén kizárólag a főkvantumszám határozza meg az elektron energiáját. Többelektronos atomban a mellékkvantumszámtól is függ az elektron eneriája. Ha pedig mágneses mezőben van az atom, akkor a mágneses kvantumszámtól is. Azt a jelenséget, hogy különböző pályákon lévő elektronok energiája azonos is lehet, elfajulásnak nevezzük. Ilyenkor egy energiasajátértékhez több különböző sajátfüggvény is tartozik (amik a különféle pályákat jelentik). Ha például egy enegiasajátértékhez 4-féle sajátfüggvény tartozik, azaz 4 különböző pályának azonos az energiája, akkor azt mondjuk, hogy ez az energiaszint 4-szeresen elfajult.

A főkvantumszámra szokás azt is mondani, hogy az elektronnak a magtól mért átlagos távolságát adja meg. Ez nagyjából megállja a helyét, de mivel az elektron hullámfüggvénye, így megtalálási valószínűsége is bonyolult függvénye a távolságnak, ezért "az elektron távolsága a magtól" messze nem annyira egyértelmű fogalom, mint amennyire a Bohr-modellben, ahol a körpályákon ez mindig teljesen egyértelmű, és egy pálya esetén állandó érték.

Az $n$ főkvantumszám lehetséges értékei:

\[n=1;\ 2;\ 3;\ \dots \]

Mivel az $n$ főkvantumszám csak diszkrét értékeket vehet fel, úgy is mondjuk, hogy az elektron energiáját kvantálja.

A főkvantumszám alapján beszélünk elektronhéjakról:

$n$
főkvantum-
szám
Az elektronhéj
sorszáma
Az elektronhéj
szokásos
elnevezése
$n=1$ 1. héj K-héj
$n=2$ 2. héj L-héj
$n=3$ 3. héj M-héj
$n=4$ 4. héj N-héj
$n=5$ 5. héj O-héj
stb.    

 

Az $n$ főkvantumszám bármely értéke esetén n2 pálya lehetséges (amik nem feltétlenül vannak mind betöltve elektronokkal). Mivel minden pályán (a spin miatt) két elektron tartózkodhat, ezért egy héjon az elektronok lehetséges száma $2n^2$:

Főkvantum-
szám
$n$
A héj jele A héjon lévő
elektronpályák
összes száma
$n^2$
Az elektronok
maximális
száma
a héjon
$2n^2$
$n=1$ K-héj 1 2
$n=2$ L-héj 4 8
$n=3$ M-héj 9 18
$n=4$ N-héj 16 32
$n=5$ O-héj 25 50
stb.      

Egyelektronos (hidrogénszerű) esetben - mivel olyankor az elektron energiája csak a főkvantumszámtól függ - mind az n2 pálya azonos energiájú, így ilyenkor minden energiaszint n2-szeresen elfajult.

A főkvantumszám meghatározza azt is, hogy az elektronpályának hány csomófelülete van összesen; tehát a csomógömbök, csomósíkok, és csomókúpok együttes számát. A csomófelületek olyan összefüggő felületek, ahol az elektron tartózkodási valószínűsége nulla (a csomógömbök középpontja mindig az atommag, a csomósíkok és csomókúpok pedig mindig átmennek a magon). A csomófelületek összes száma mindig eggyel kevesebb a főkvantumszámnál:

\[csomófelületek\ összes\ száma=n-1\]

Tehát a csomófelületek száma az alapján, hogy a főkvantumszám \(n=1;\ 2;\ 3;\ \dots \) értékeket vehet fel:

\[csomófelületek\ összes\ száma=0;\ 1;\ 2;\ 3;\ \dots \]

Bár a kvantummechanikai atommodellben az elektronpályákat a kvantumszámokból kiindulva tárgyaljuk, nem pedig a csomófelületek számából. Valójában - a fizikai tartalmát tekintve - a csomófelületek száma az, ami minden elektronpálya alapvető paramétere, és igazából a főkvantumszám az, ami a csomófelületek számából "csak származtatott" mennyiség.   

A főkvantumszám erőltetett, mechanisztikus analógiájaként gondolhatunk egy kifeszített húrra. Az ezen kialakuló (lehetséges) különféle állóhullám módusokat azzal a számmal jellemezhetnénk, hogy hány belső csomópont (rezgést nem végző pont) van (azért csak belső, mert a kifeszített húr két végpontja mindenképp csomópont). A belső csomópontok száma az alábbi értékeket veheti fel:

\[Cs=0;\ 1;\ 2;\ 3;\ \dots \]

pont annyikat, amennyi a kvantummechanikai atommodellben a csomófelületek összes száma. Ez alapján - analógiaként - a húron kialakuló állóhullámot a a belső csomópontok számánál eggyel nagyobb értékű "kvantumszámmal" jellemezhetjük. És tényleg szokás 1., 2., 3., módusnak hívni az állóhullám módusokat.

 

Az állóhullám módusban
a húron lévő
belső csomópontok
száma:

$Cs$

Az állóhullám módust
jellemző "kvantumszám"

$n=Cs+1$

$Cs=0$ $n=1$
$Cs=1$ $n=2$
$Cs=2$ $n=3$
$Cs=3$ $n=4$

 

Az $l$ mellékkvantumszám (orbital or asimuthal quantum number)

Nevezik pályakvantumszámnak vagy azimutális kvantumszámnak is.

Az elektron \(\overrightarrow{L}\) pályaperdületének nagyságát határozza meg:

\[\left|\overrightarrow{L}\right|=L=\sqrt{l\left(l+1\right)}\cdot \hslash \]

Az elektron pályaperdülete az elektron atommag körüli mozgásából származik.

(Ezzel szemben létezik az elektronnak ún. sajátperdülete is, melyet a spinkvantumszám mutat. Klasszikus fizikai analógiakén szokás ahhoz hasonlítani a helyzetet, ahogy egy bolygónak van pályaperdülete a Nap körüli keringése miatt, és sajátperdülete a tengelye körüli forgása miatt. Az általánosan elfogadott nézet szerint az elektront nem helyes egy pörgő, keringő golyónak tartani, mivel az elektron állapotát tökéletesen leíró kvantummechanika törvényei mindig valószínűségi leírást adnak, melyben a fizikai mennyiségek nincsenek tetszőleges pontossággal meghatározva, hanem csak "bizonytalansággal terhelten" adottak, lásd Heisenberg-féle határozatlansági relációk. Ezzel szemben a fejünkben élő szemléletességre törekvő, mechanisztikus, newtoni világképben az objektumok fizikai mennyiségei tetszőleges pontossággal adottak.)

Az $l$ mellékkvantumszám lehetséges értékei:

\[l=0;\ 1;\ 2;\ \dots ;\ \left(n-1\right)\]

Tehát a mellékkvantumszám a nulla mellett csak pozitív egész értékeket vehet fel, és kisebbenek kell lennie a főkvantumszámnál.

Mivel az $l$ mellékkvantumszám csak diszkrét értékeket vehet fel, úgy is mondjuk, hogy az elektron pályaperdületét kvantálja.

A mellékkvantumszám nagy vonalakban (jellegzetességeiben) meghatározza az elektronpálya alakját, ezért külön nevet is adtak a mellékkvantumszám egyes értékeinek, úgy mint s-pálya, p-pálya, d-pálya, f-pálya stb. Az alábbi táblázat összefoglalja, hogy az első 4 elektronhéjon a mellékkvantumszám milyen értékeket vehet fel:

Az $n$
főkvantum-
szám

Az $l$
mellékkvantumszám
lehetséges értékei

Az elektronpálya
alakja, típusa
$n=1$ $l=0$ s-pálya
$n=2$

$l=0$

s-pálya
$l=1$ p-pálya
$n=3$

$l=0$

s-pálya
$l=1$ p-pálya
$l=2$ d-pálya
$n=4$ $l=0$ s-pálya
$l=1$ p-pálya
$l=2$ d-pálya
$l=3$ f-pálya
stb  

 

 

A mellékkvantumszám (a főkvantumszámmal együtt) meghatározza, hogy az elektronpályának hány csomógömbje (azaz gömbszimmetrikus csomófelületet) van:

\[csomógömbök\ száma=\left(n-1\right)-l\]

 

Az $m$ (vagy $m_l$) mágneses kvantumszám (magnetic quantum number)

Az elektron \(\overrightarrow{L}\) pályaperdületének egy kitüntetett irányra eső vetületét határozza meg. Kitüntetett irány amiatt "keletkezhet", mert például a külső mágneses mező indukcióvektorának iránya ebbe az irányba mutat. A kitüntetett irányba vessszük fel a koordinátarendszerünk z tengelyét.

\[L_z=m\cdot \hslash \]

Úgy is fogalmazhatjuk, hogy a mellékkvantumszám az elektron perdületének egy adott irányra eső vetületét kvantálja.

Az $m$ mágneses kvantumszám a nulla mellett még olyan, pozitív vagy negatív egész szám lehet, melynek abszolút értéke maximum a mellékkvantumszám. Ezek alapján a mágneses kvantumszám lehetséges értékei:

\[m=\left(-l\right);\ \left(-l+1\right);\ \dots ;\ -1;\ 0;\ 1;\ \dots ;\ \left(l-1\right);\ l\]

Vagy ugyanez másképp felírva:

\[m=0;\ \pm 1;\ \pm 2;\dots ;\ \pm l\]

A mellékvantumszám által meghatározott $L$ pályaperdület-nagyságot és a mágneses kvantumszám által meghatározott $L_z$ pályaperdület-vetület lehetséges értékeit egyetlen ábrán összegezve:

A mágneses kvantumszám lehetséges értékei:

Az $n$
főkvantum-
szám
(héj)

Az $l$
mellékkvantumszám
lehetséges értékei
(alhéjak)

Az alhéjon lévő
elektronpályák
alakja, típusa
Az $m$
mágneses
kvantumszám
lehetséges
értékei
$n=1$ $l=0$ s-pálya $m=0$
$n=2$

$l=0$

s-pálya $m=0$
$l=1$ p-pálya

$m=-1$
$m=0$
$m=1$

$n=3$

$l=0$

s-pálya $m=0$
$l=1$ p-pálya $m=-1$
$m=0$
$m=1$
$l=2$ d-pálya ​$m=-2$
$m=-1$
$m=0$
$m=1$
$m=2$
$n=4$ $l=0$ s-pálya $m=0$
$l=1$ p-pálya $m=-1$
$m=0$
$m=1$
$l=2$ d-pálya ​$m=-2$
$m=-1$
$m=0$
$m=1$
$m=2$
$l=3$ f-pálya $m=-3$
$m=-2$

$m=-1$
$m=0$
$m=1$
$m=2$
$m=3$
stb      

 

Úgy is fogalmazhatunk, hogy a mellékkvantumszám meghatározza a mágneses kvantumszám lehetséges értékeit, ezzel azt is, hogy egy alhéjon hány elektronpálya lesz, vagyis az elektronok számára betölthető "helyek" számát.

A mágneses kvantumszám egymaga meghatározza a csomósíkok számát:

\[csomósíkok\ száma=m\]

A mágneses kvantumszám (a mellékkvantumszámmal együtt) meghatározza a csomókúpok számát:

\[csomókúpok\ száma=l-m\]

 

Az $s$ spinkvantumszám (spin quantum number)

A spinkvantumszám értéke (eltérően a többi kvantumszámtól) nem egész szám, és mindig csak kétféle értéket vehet fel: 

\[s=\pm \frac{1}{2}\]

A spinkvantumszám az elektron \(\overrightarrow{S}\) sajátperdületének a kitüntetettt irányba (z tengely irányába) eső vetületét határozza meg. Értéke kétféle lehet:

\[S_z=s\cdot \hslash =\pm \frac{1}{2}\cdot \hslash \]

Az elektron teljes sajátperdületének nagysága mindig ugyanakkora:

\[\left|\overrightarrow{S}\right|=\sqrt{s\left(s+1\right)}\cdot \hslash =\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \hslash \]

Az elektron $\overrightarrow{J}$ teljes perdülete az $\overrightarrow{L}$ pályaperdületből és az $\overrightarrow{S}$ áll össze:  

\[\overrightarrow{J}=\overrightarrow{L}+\overrightarrow{S}\]


 

A különféle héjak, alhéjak, elektronpályák betöltődése elektronokkal EGYELEKTRONOS esetben

Egy elektronja a semleges hidrogénatomnak van, illetve az olyan ionoknak, amik oly mértékben ionizáltak, hogy csak egy elektonjuk van, például He+, Li2+, Be3+, B4+, C5+, ...

főkvantum-
szám
$n$
Héj
neve
Alhéj Az
alhéjon
lévő
pályák
száma
Az elektronok
maximális
lehetséges
száma
az alhéjon
Az elektronok
maximális
lehetséges
száma
ezen a héjon

Az elektronok
lehetséges
maximális
száma
eddig a héjig
bezárólag 

$n=1$ K-héj 1s 1 2 2 2
$n=2$ L-héj 2s 1 2 8 10
2p 3 6
$n=3$ M-héj 3s 1 2 18 28
3p 3 6
3d 5 10
$n=4$ N-héj 4s 1 2 32 60
4p 3 6
4d 5 10
4f 7 14
stb.            

Egyelektronos esetben a pályák energiaszintje csak a főkvantumszámtól függ, vagyis egy héjon belül minden elektron energiája teljesen azonos. Ilyenkor a lehetséges pályák energiaszintjei így néz ki:

Egy adott héjon belül minden elektronpálya azonos energiájú, függetlenül attól, hogy az s-pálya vagy p-pálya vagy d-pálya. Tehát egyelektronos esetben az elektronnak energetikailag mindegy, hogy milyen alhéjon van (példéul 3s vagy 3p vagy 3d alhéjon), mert az energiáját kizárólag a héj sorszáma (a főkvantumszám) határozná meg. De a periódusos rendszerből jól tudjuk, hogy egy adott héjon belül az egyes alhéjak, sőt még az alhéjon belüli pályák sem egyenrangúak energetikailag. De hát a periódusos rendszer többelektronos atomokról szól. Nézzük, miben más, amikor már több elektronja van az atomnak!

 

A különféle héjak, alhéjak, elektronpályák betöltődése elektronokkal TÖBBELEKTRONOS esetben

Amikor az atomban több elektron is van (márpedig az esetek elsöprő többsége ilyen), akkor egy elektron nemcsak az atommag elektromos mezejét érzékeli, hanem a többi elektron elektromágneses mezejét is (Coulomb-terét, valamint a pályaperdület miatti pálya-impulzusmomentumát, valamint a spinje miatti saját-impulzusmomentumát is). Úgy is fogalmazhatunk, hogy egy elektron bonyolult kölcsönthatásban lesz nemcsak az atommaggal, hanem az összes többi elektronnal is (a kölcsönhatást szokás "csatolás"-nak nevezni). Ezek miatt a kölcsönhatások miatt az elektronpályák módosulnak az eddig tárgyalt egyelektronos (egyszerű) esethez képest, és az elektronpályák energiaszintjei is megváltoznak. Konkrétan: egy adott héjon lévő különböző mellékkvantumszámú pályák (s, p, d, f alhéjak) energiaszintjei nem lesznek azonosak, tehát a degeneráció mértéke csökken. Első közelítésben azt mondhatjuk, hogy egy pálya energiaszintje többelektronos esetben már nemcsak az $n$ főkvantumszámtól függ, hanem az $l$ mellékkvantumszámtól is. Méghozzá hasonlóan a főkvantumszámhoz, minél nagyobb nagyobb az $l$ mellékkvantumszám, annál nagyobb az energiaszint (az energia abszolút értéke annál kisebb, hiszen egy kötött elektron összenergiája mindig negatív érték). Vagyis egy héjon belül mindig az \(l=0\) vagyis az s-alhéjon lévő pályák lesznek a legkisebb energiájúak, aztán következnek az \(l=1\) azaz a p-alhéjon lévő pályák, utánuk az \(l=2\) vagyis a d-alhéj pályái stb.

Ha semmi további bonyodalom nem lenne, akkor a többelektromos atomok elektronfelhője az elektronszám növekedésével az alábbi sorrendben töltődne be:

 1s  →  2s  →  2p  →  3s  →  3p  →  3d   →  4s  →  4p  →  4d   →  4f  →  5s  →  5p  →  5d  →  5f  →  5g  →  6s  →

 

1. héj (K)  1s           
2. héj (L)  2s   2p         
3. héj (M)  3s   3p   3d       
4. héj (N)  4s   4p   4d   4f     
5. héj (O)  5s   5p   5d   5f   5g   
6. héj (P)  6s   6p   6d   4f   6g   6h 

Azonban az egyes héjak alhéjainak energiaszintjei átfedésbe kerülnek más héjak alhéjainak energiaszintjeivel. Az első 4 héj esetében az egyes alhéjak (s, p, d, f) energiaszintjeit hozzávetőlegesen az alábbi ábra szemlélteti:

Azt látjuk, hogy a 3. héj (M-héj) esetében a 3s és a 3p alhéjak után nem a 3d alhéj fog betöltődni elektronokkal, hanem a nála alacsonyabb energiaszintű 4s alhéj. Ugyanez a jelenség egy másik fajta ábrán szemléltetve:

 

Ennek következtében a a sokeletronos atomokban az elektronok nem úgy töltik be az elektronpályákat, hogy a héjakat feltöltik alulról felfelé, és csak akkor nyitnak meg egy újabb, következő héjat, ha az alatta lévő héjak már teljesen be vannak töltve elektronokkal. Az elektronok ugyanis az összenergiájuk minimumára törekszenek, de többelektronos esetben már nemcsak a főkvantumszám határozza meg az energiájukat, hanem a mellékkvantumszám is.

Még több héjat ábrázolva még több "átfedést" láthatunk a héjak energiaszintjei között:

 

A kémiai elemek felépülése során ezért NAGYJÁBÓL az alábbi sorendben töltődnek be az egyes alhéjak:

 1s  →  2s  →  2p  →  3s  →  3p  →  4s  →  3d  →  4p  →  5s  →  4d  →  5p  →  6s  →  4f  →  5d  →  6p  →  7s  →  5f  →  6d  →  7p


Balról jobbra és fentről lefelé haladva haladva így is ábrázolhatjuk mindezt:

 1s       
 2s       2p 
 3s       3p 
 4s     3d   4p 
 5s     4d   5p 
 6s   4f   5d   6p 
 7s   5f   6d   7p 

 

A periódusos rendszer eredeti alakjában pont ezt látjuk:

Ezt a periódusos rendszer ábrázolás csupán amiatt nem gyakori, mert mint kép, nem a szokásos szélesség:magasság arányú, így macerásabb a nyomdai kivitelezése illetve a kivetítése, mint a megszokott változatnak, ahol az f-mező elemeit kivágva és alulra rakva jelenítik meg:


 

Az alhéjak betöltési sorrendjét szokás egy társasjáték útvonalhoz hasonlóan is ábrázolni:

 
 

Újabb bonyolítás - egy alhéj energiaszintje módosul a rá kerülő elektronoktól

Ha egy alhéjon van már elektron (vagyis tudunk beszélni egy ezen alhéjon lévő elektron energiájáról), majd erre az alhéjra egy további elektron kerül rá, akkor az elektronok egymással való kölcsönhatásai miatt az alhéj energiaszintje módosul. Ennek a betöltődésis sorrendek szempontjából nem mindig van jelentősége, mert az energiaszintek eltolódása révén az egyes alhéjak energia szerinti "hierarchiája" (hogy melyik nagyobb és melyik kisebb energiaszintű) általában nem változik meg. De időnként az alhéjak bekövetkező energiaszint-változása miatt az egyik alhéj egy addig fölötte lévő másik alhéj fölé kerül (vagy egy addig alatta lévő alá kerül). Tehát nem igaz (ahogy a fenti ábrák - egyszerűsítve - mutatják), hogy egy adott alhéjon lévő pályák azonos energiaszinten lennének: egy alhéjnak az elektronokkal való betöltődései során minden megjelenő elektron módosítja az összes pálya energiaszintjét. Az alhéjak energiaszintje a rajtuk lévő elektronok száma szerint módosul.

Hund-szabály

A fenti furcsaságokat, azaz hogy melyik újabb alhéj lesz a "befutó", mint megfelelő hely, egy újabb,m következő elektron számára, teljességében csak a kvantummechanikai komplex differenciálegyeneletek megoldásával lehet megjósolni (amik mindig rettenetesen sok lépésből álló, numerikus, számítógépesített számításokat igényelnek). Ezek sajnos nem adnak számunkra nagyon szemléletes, érthető, elképzelhető képet, ami alapján átláthatnánk a pályák betöltődéseinek sorrendjét. De az emberek (különösen a tudósok) olyanok, hogy szeretnek valami logikus rendszert, elképzelhető struktúrát alkotni, aminek segítségével érthetővé válnak a dolgok. Régen, amikor a betöltődésekkel kapcsolatban már ismertek voltak bizonyos a furcsaságok, de a bonyolult kvantummechanikai egyeneletek megoldása (számítógépek hiányában) még lehetetlen volt, a fizikusok megpróbáltak valamiféle "rendszert, logikát" keresni a betöltődésekben, felhasználva az addigi ismereteket. Egy ilyen eset volt, hogy érthetővé vált: az elektronok közötti spinkölcsönhatások alapján energetikailag előnyösebb, ha (lehetőség szerint) minél több elektron "párosítatlanul" helyezkedik el (ugyanazon alhéjon, de annak különböző pályáin, azonos spinállással). Ezt hívjuk Hund-szabálynak (ejtsd: "hund"; nem pedig "hánd", mivel a szabály megalkotója, Friedrich Hund német fizikus volt). A szabályt 1927 körül Hund az atomi elektronok energiaszintjeinek tanulmányozása során, tapasztalati úton állította fel, még a kvantummechanika teljes kiépülése (pláne az egyenletek numerikus megoldása) előtt. A Hund-szabály nem egy önálló (alapvető) fizikai törvényszerűség, hanem a kvantummechanikai atommodellből származó, abból levezethető szabályszerűség.

A Hund-szabályban megnyilvánuló alhéj energiaszint-eltolódások miatt lesz furcsa (a várakozásoktól eltérő) a króm elektronszerkezete. A króm előtt lévő 23 elektronos vanádiumban a 3d héjon, amin 5 pálya van, azaz 10 elektron férne rá, van 3 elektron, vagyis még elférne a 3d pályákon 2 további párosítatlan elektron. A vanádium 4s héja pedig teljesen be van töltve 2 elektronnal. Ezután egy újabb elektrontól annyit várnánk, hogy ő majd betölti a 3d pálya következő (4.) pályájának egyik helyét, a 4s pályán pedig marad az eddig ott lévő 2 elektron. Ezzel szemben (pont a Hund-szabály miatt) a krómban a 3d pályán 5 elektron lesz (vagyis a 3d pályán a a lehető legtöbb párosítatlan elektron fog elhelyezkedni), mert a 4s pályáról az egyik elektron átmegy az egyik 3d pályára, ahol ő is párosítatlanul helyezkedhet el. Ez "duplán jó" a Hund-szabály alapján, hiszen így a 4s pályán is párosítatlanná válik az ott maradó elektron. Azt mondhatjuk, hogy a "Hund-szabály átrántja" az egyik 4s elektront a 3d pályára, mert ezzel a változtatással 2-vel megnövelhető a párosítatlan elektronok száma. Másképp fogalmazva a spinkölcsönhatás járuléka miatt előnyösebb, ha az egyik 4s elektron lemegy a 3d pályára:

A króm után (mangán) a következő elektron (szintén a Hund-szabály alapján) nem a 3d alhéjra kerül, hiszen most ott már nincsen lehetőség párosítatlanul elhelyezkedni, hanem az új elektron újra betölti a 4s pálya másik helyét. Ezután a következő 3 elemnél (vas, kobalt nikkel) az újabb elektronok betöltik a 3d alhéj 6., 7. és 8. helyét. Ezután viszont a réz elektronszerkezete ismét furcsa (persze csak első ránézésre, hiszen a kvantummechanikai számítások szerint teljesen érthető). A rézben az új elektron tényleg betölti a 3d alhéj 9. helyét, de emellett a 3. héj teljes lezárása érdekében a 4s héjról (ami a mangán óta tele volt) lejön az egyik elektron:

 

 

 

1. héj (K)  1s           
2. héj (L)  2s   2p         
3. héj (M)  3s   3p   3d       
4. héj (N)  4s   4p   4d   4f     
5. héj (O)  5s   5p   5d   5f   5g   
6. héj (P)  6s   6p   6d   4f   6g   6h 

A