Gyorskeresés

A Louis de Broglie-féle anyaghullámok 4539

Max Planck 1900-ban azzal a hipotézissel tudta sikeresen levezetni a feketetest-sugárzás spektrális eloszlását (a tapasztalattal egyező eredménnyel), hogy a feketetest (üreg) falában található, elektromágneses sugárzásokat elnyelni és kibocsátani képes atomok, mint kis oszcillátorok, energiája nem lehet akármekkora, nem vehet fel folytonosan változva tetszőleges értékeket. Hanem csak véges nagyságú lépésekben módosulhat, vagyis csak lépcsőzetesen változhat, "ugrálhat". Egy oszcillátor emiatt a ráeső $f$ frekvenciájú sugárzásból csak adagonként vehet fel energiát, ahogy leadni is csak adagonként (lépésközönként) tudja a saját energiáját. Az energia-lépésköz frekvenciafüggő:

\[\Delta E_{oszcill}=h\cdot f\]

Ezután 5 évnek kellett eltelnie, hogy Albert Einstein 1905-ben egy (utólag nyilvánvalónak tűnő) lépéssel tovább menjen, és kimondja, hogy az elektromágneses sugárzás energiaadagja

\[E=h\cdot f\]

és az elektromágneses sugárzás energiaadagját, kvantumját el is nevezze fotonnak. Ez a fényről alkotott elképzelésünket, szemléletünket jelentősen módosította. Hiszen a fényre 1801 óta (Young fényinterferenciás kísérletei óta) egyértelműen hullámként gondoltak, de a foton a fotoeffektusban határozottan részecskejelleggel bírt. 1905 után mindenki számára ismert volt a furcsaság, hogy a fény egyszerre bír hullámjelleggel és részecskejelleggel. Ha a mikroszkopikus foton ilyen szokatlan, "skizofrén" kettős életet él, akkor miért ne lehetne, hogy egy másik mikroszkopikus objektum, mondjuk az elektron is hasonlóan kettős természetű legyen? Ez a (ma már kézenfekvő) feltételezés csak majd 20 évvel később Louis de Brogli (ejtsd: Lui dö Brojl) doktori dolgozatában bukkant fel 1924-ben. A mindössze 32 éves francia fizikus az akkoriban szakmai körökben már elismert relativitáselméletből indult ki, annak is az energia-impulzus összefüggéséből:

\[E^2=p^2c^2+m^2c^4\]

A foton tömeg nulla, így fotonra:

\[{E^2}_{foton}=p^2c^2\]

Mivel a mennyiségek nemnegatívak, ezért gyököt vonhatunk:

\[E=p\cdot c\]

Továbbá tudjuk a foton energiáját:

\[E=h\cdot f\]

Az utolsó két egyenletből:

\[p\cdot c=h\cdot f\]

A hullámok terjedési sebessége, frekvenciája és hullámhossza között viszont fennáll:

\[c=\lambda \cdot f\]

Ezt beírva:

\[p\cdot \lambda \cdot f=h\cdot f\]

amiből:

\[\lambda =\frac{h}{p}\]

illetve

\[p=\frac{h}{\lambda }\]

Tehát a foton hullámhossza a és lendülete szorosan összefüggenek, konkrétan fordítottan arányosak, és az arányossági tényező a $h$ Planck-állandó. Louis de Broglie hipotézise az volt, hogy ezen összefüggések esetleg fennállnak az elektronra is. A Bohr-modellben a hidrogénatom egyetlen elektronja számára csak az olyan körpályák megengedettek, melyeknél az elektron perdületére fennáll egy (önkényes) feltétel, miszerint a perdület csak egész számszorosa lehet a $\frac{h}{2\pi }$ állandónak :

\[m\cdot v\cdot r=n\cdot \frac{h}{2\pi }\]

Mivel

\[p=m\cdot v=\frac{h}{\lambda }\]

ezt beírva a Bohr-posztulátumba:

\[\frac{h}{\lambda }\cdot r=n\cdot \frac{h}{2\pi }\]

amit rendezve:

\[2\pi \cdot r=n\cdot \lambda \]

Az egyenlet bal oldalán az elektron $r$ sugarú körpályájának kerülete van! Tehát az önkényes bohri perdületkvantálás szemléletes jelentést nyer: azok a körpályák megengedettek, melyeknél az elektron de Broglie-hullámhossza a körpálya kerületére pont egész számszor ráfér. Hasonkóan ahhoz, ahogy egy húron kialakuló állóhullám esetében a félhullámhossznak pont egész számszor kell ráférnie a húr hosszára.

\noindent Tehát de Broglie az önkényes bohri posztulátumot megtöltötte szemléletes fizikai tartalommal. De vajon igaz is mindez? Minden $p$ impulzussal rendelkező részecskének van

\[\lambda =\frac{h}{p}\]

hullámhossza? Nézzünk példákat! Egy autó tömege nagyságrendileg

\[m=1000\ kg\]

sebessége nagyságrendileg

\[v=20\ \frac{m}{s}\]

Ezek alapján a lendülete:

\[p=m\cdot v=1000\ kg\cdot 20\ \frac{m}{s}=20.000\ \frac{kg\cdot m}{s}\]

A de Broglie hullámhossza pedig:

\[\lambda =\frac{h}{p}\]

\[\lambda =\frac{6,6\cdot {10}^{-34}\ J\cdot s}{20.000\ \frac{kg\cdot m}{s}}\]

\[\lambda =3,3\cdot {10}^{-38}\ m\]

A hullámtulajdonságok akkor válnak jelentőssé, ha a hullám olyan máretű akadályok közötthalad, amik a hullámhosszával összemérhetők, vagy annál kisebbek. Egy mozgó autó hullámtulajdonságai ezek alapján nem tudnak megjelenni.