Ha az arany-ezüst ötvözet tömegsűrűségét megmérjük az arany tömegszázalékának ($\mathrm{m/m}\ \%$‑ának) függvényében, akkor az alábbi görbét kapjuk:
A függvény alakja vajon miért nem lineáris? Talán az arany és az ezüst atomok a különféle arányú ötvözetekben más-más térkitöltésű szerkezetet alkotnak?
Vizsgáljuk meg, mi történne, ha nem is ötvöznénk a fémeket, hanem csupán egymás mellé tennénk színarany és színezüst tömböket, és kiszámítanánk a két tömbből álló rendszer átlagos sűrűségét! A sűrűségeket jelöljük értelemszerűen: $\varrho_{\mathrm{Au}}$ és $\varrho_{\mathrm{Ag}}$ kifejezésekkel.
Legyen összesen $1\ \mathrm{kg}$ fémünk, ebből $m_{\mathrm{Au}}$ tömegű aranyunk, a többi pedig ezüst, vagyis ${1-m}_{\mathrm{Au}}$ tömegű ezüstünk! Ezek térfogatai a sűrűség
$$\varrho={{m}\over {V}}$$
definíciója alapján:
$$V_{\mathrm{Au}}={{m_{\mathrm{Au}}}\over {\varrho_{\mathrm{Au}}}}$$
$$V_{\mathrm{Ag}}={{m_{\mathrm{Ag}}}\over {\varrho_{\mathrm{Ag}}}}$$
A két tömb átlagos sűrűsége:
\[{\varrho }_{\mathrm{átl.}}=\frac{\sum{m}}{\sum{V}}\]
\[{\varrho }_{\mathrm{átl.}}=\frac{m_{\mathrm{Au}}+m_{\mathrm{Ag}}}{V_{\mathrm{Au}}+V_{\mathrm{Ag}}}\]
$$\varrho_{\mathrm{átl.}}={{1\ \mathrm{kg}}\over \displaystyle {{{m_{\mathrm{Au}}}\over {\varrho_{\mathrm{Au}}}}+{{{1\ \mathrm{kg}-m}_{\mathrm{Au}}}\over {\varrho_{\mathrm{Ag}}}}}}$$
Rendezzük a kifejezést:
$$\varrho_{\mathrm{átl.}}={{1\ \mathrm{kg}}\over \displaystyle {{{m_{\mathrm{Au}}\cdot \varrho_{\mathrm{Ag}}+\left({1\ \mathrm{kg}-m}_{\mathrm{Au}}\right)\cdot \varrho_{\mathrm{Au}}}\over {\varrho_{\mathrm{Au}}\cdot \varrho_{\mathrm{Ag}}}}}}$$
$$\varrho_{\mathrm{átl.}}=1\ \mathrm{kg}\cdot {{\varrho_{\mathrm{Au}}\cdot \varrho_{\mathrm{Ag}}}\over {m_{\mathrm{Au}}\cdot \varrho_{\mathrm{Ag}}+\left({1\ \mathrm{kg}-m}_{\mathrm{Au}}\right)\cdot \varrho_{\mathrm{Au}}}}$$
$$\varrho_{\mathrm{átl.}}=1\ \mathrm{kg}\cdot {{\varrho_{\mathrm{Au}}\cdot \varrho_{\mathrm{Ag}}}\over {{1\ \mathrm{kg}\cdot \varrho_{\mathrm{Au}}+m}_{\mathrm{Au}}\cdot \left(\varrho_{\mathrm{Ag}}-\varrho_{\mathrm{Au}}\right)}}$$
Ezen a kifejezésen jól látható, hogy az átlagos sűrűség nem lineáris függvénye az $m_{\mathrm{Au}}$ változónak, ezért nem lehet egyenes a képe. Vagyis a sűrűségfüggvény íves alakja már akkor is előáll, ha nem is történik ötvözés (az arany és ezüst atomok nem alkotnak közös kristályrácsot). A nemlineáris függés már bármiféle bonyolult metallurgiai effektus nélkül is előáll.
De ha már így fejünkbe vettük, hogy a tömegsűrűségnek "lineárisnak kellene lennie", vizsgáljuk meg, hogy milyen esetben kaphatunk lineáris képet, ha a sűrűséget az aranytartalom függvényében ábrázoljuk, természetesen csak a fenti, egyszerű (színarany és színezüst tömbök egymás mellé helyezése) esetben. Metallurgiai ismeretek híján úgyis csak ezt tudjuk vizsgálni.
Nézzük meg, mi lenne, ha az átlagos tömegsűrűséget nem az arany tömegszázaléka, hanem az arany térfogatszázaléka függvényében ábrázolnánk!
Legyen összesen $1\ \mathrm{m^3}$ térfogatú a színarany és a színezüst. Térfogataik legyenek:
$$V_{\mathrm{Au}}$$
$${V_{\mathrm{Ag}}=1-V}_{\mathrm{Au}}$$
Fejezzük ki tömegeiket is:
$$m_{\mathrm{Au}}=\varrho_{\mathrm{Au}}\cdot V_{\mathrm{Au}}$$
$$m_{\mathrm{Ag}}=\varrho_{\mathrm{Ag}}\cdot V_{\mathrm{Ag}}=\varrho_{\mathrm{Ag}}\cdot \left({1-V}_{\mathrm{Au}}\right)$$
Fejezzük ki az átlagos tömegsűrűséget:
$$\varrho_{\mathrm{átl.}}={{\sum{m}}\over {\sum{V}}}={{m_{\mathrm{Au}}+m_{\mathrm{Ag}}}\over {V_{\mathrm{Au}}+V_{\mathrm{Ag}}}}$$
$$\varrho_{\mathrm{átl.}}={{\varrho_{\mathrm{Au}}\cdot V_{\mathrm{Au}}+\varrho_{\mathrm{Ag}}\cdot \left({1-V}_{\mathrm{Au}}\right)}\over {V_{\mathrm{Au}}+\left({1-V}_{\mathrm{Au}}\right)}}$$
$$\varrho_{\mathrm{átl.}}={{\varrho_{\mathrm{Ag}}+V_{\mathrm{Au}}\cdot \left(\varrho_{\mathrm{Au}}-\varrho_{\mathrm{Ag}}\right)}\over {1}}$$
Írjuk ez az egyenletet az egyeneseknél megszokott, meredekséget tartalmazó alakba:
$$y=m\cdot x+b$$
$$\varrho_{\mathrm{átl.}}=\left(\varrho_{\mathrm{Au}}-\varrho_{\mathrm{Ag}}\right)\cdot V_{\mathrm{Au}}+\varrho_{\mathrm{Ag}}$$
Ezen már látszik, hogy ez egy egyenes. Tehát ha a sűrűséget nem az arany tömegszázalékos arányában, hanem az arany térfogatszázalékos arányában ábrázoljuk, akkor a függvény alakja lineáris lesz. természetesen a tényleges ötvözet sűrűsége ettől eltérhet.
Ellenőrizzük, hogy a két szélső esetben a kapott kifejezés visszaadja-e a várt értékeket! Ha csak színezüstünk van, akkor
$$V_{\mathrm{Au}}=0$$
amiből
$$\varrho_{\mathrm{átl.}}=\varrho_{\mathrm{Ag}}$$
tehát a nulla térfogatszázalék aranytartalmú esetre visszakaptuk az ezüst sűrűségét. Ugyanígy a színarany esetben
$$\varrho_{\mathrm{átl.}}=\left(\varrho_{\mathrm{Au}}-\varrho_{\mathrm{Ag}}\right)\cdot V_{\mathrm{Au}}+\varrho_{\mathrm{Ag}}$$
$$\varrho_{\mathrm{átl.}}=\left(\varrho_{\mathrm{Au}}-\varrho_{\mathrm{Ag}}\right)+\varrho_{\mathrm{Ag}}$$
$$\varrho_{\mathrm{átl.}}=\varrho_{\mathrm{Ag}}$$
azaz szintén visszakaptuk az arany sűrűségét.