Erő munkája (precíz definíció)

Erő munkája alatt az $\overrightarrow{F}$ erővektor és az $\overrightarrow{s}$ elmozdulásvektor skaláris szorzatát értjük:

$$W=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{s}=F\cdot s\cdot {\cos φ\ }$$

ahol $F$ az $\overrightarrow{F}$ erővektor hosszát, $s$ az $\overrightarrow{s}$ elmozdulásvektor hosszát és $φ$ a kettejük bezárt szögét jelenti. A ${\cos φ\ }$ tényező a bezárt szög függvényében felvehet pozitív és negatív értékeket, valamint $\varphi =90{}^\circ $ esetén nullát is. Tehát most utólag összeáll a kép, hogy mi is az eredete a régi, egyszerű előjelszabályainknak, nevezetesen hogy azonos irányú erő és elmozdulás esetén a munka pozitív előjelű, ellentétes irányok esetén negatív előjelű, merőleges esetben pedig a munka nulla. Ezeket az előjelszabályokat végső soron a ${\cos φ\ }$ "okozta".

$\varphi$	${\cos{\varphi }\ }$	$W$ előjele
$\varphi =0{}^\circ $	${\cos{\varphi }\ }=1$	$+$
$0{}^\circ <\varphi<90{}^\circ $	$0<{\cos{\varphi }\ }<1$	$+$
$\varphi =90{}^\circ $	${\cos{\varphi }\ }=0$	$0$
$90{}^\circ <\varphi<180{}^\circ $	$-1<{\cos{\varphi }\ }<0$	$-$
$\varphi =180{}^\circ $	${\cos{\varphi }\ }=-1$	$-$

Ez még midig nem a teljesen általános definíciója az erő munkájának. Ugyanis mindeddig az egyszerűség jegyében csak olyan esetekkel foglalkozunk, amikor a testre ható erő a folyamat során mindvégig állandó nagyságú és állandó irányú volt. Ilyen például a nehézségi erő, hogyha a test függőlegesen nem sokat mozdul el. Ugyanis ha a test felmenne függőlegesen mondjuk $1000\ \mathrm{km}$‑t, akkor eközben a nehézségi erő nagysága egyre csökkenne, mivel már nem elhanyagolható mértékben egyre messzebb kerülne a Föld középpontjától. Vagy ha vízszintesen mozdulna el $1000\ \mathrm{km}$‑t, akkor pedig a Föld gömb alakja miatt a nehézségi erő iránya változna meg, már nem elhanyagolható mértékben:

Az ilyen, változó erők munkájával két dolgot tehetünk. Ha a változás egyszerű (például egyenletes), akkor számolhatunk a teljes folyamatra vett átlagos erővel. Ha ennél is bonyolultabb, akkor felbonthatjuk a folyamatot $n$ darab olyan, kellően kis szakaszra, amik során az erő már (jó közelítéssel) állandónak vehető. A kis szakaszokra így kiszámíthatjuk a munkákat, és összeadjuk az $n$ darab kis munkát:

\[W=\sum^n_{i=1}{{\overrightarrow{F}}_i\cdot {\overrightarrow{s}}_i}\]

Vagy ha az erő az elmozdulás függvényében valamilyen ismert függvény szerint változik, akkor integrálszámítással határozhatjuk meg a munkát:

\[W=\int^B_A{\overrightarrow{F}\ d\overrightarrow{s}}\]

Ha ez sem teljesül akkor numerikus közelítéssel számítható ki a munka.

\(\varphi\)	\({\cos{\varphi }\ }\)	\(W\) előjele
\(\varphi =0{}^\circ \)	\({\cos{\varphi }\ }=1\)	\(+\)
\(0{}^\circ <\varphi<90{}^\circ \)	\(0<{\cos{\varphi }\ }<1\)	\(+\)
\(\varphi =90{}^\circ \)	\({\cos{\varphi }\ }=0\)	\(0\)
\(90{}^\circ <\varphi<180{}^\circ \)	\(-1<{\cos{\varphi }\ }<0\)	\(-\)
\(\varphi =180{}^\circ \)	\({\cos{\varphi }\ }=-1\)	\(-\)