Ez egyszerűbb, mint amikor van súrlódás, emiatt ezzel kezdjük. Nézzük egy ábrán!
A test alakja most nem lényeges, mert az egyszerűség kedvéért kiterjedés nélkülinek, azaz pontszerűnek vesszük, hogy a test esetleges forgó mozgása ne bonyolítsa a dolgot. Nézzük, ilyen erők hatnak a súrlódésmentes lejtőn lévő testre! Biztosan hat rá \(m\cdot g\) nehézségi erő:
Ez az \(mg\) nehézségi erő függőlegesen lefelé hat. Mivel a nehézségi erő minden testre hat, ezért ez az irány "kitüntetett" jelentőségű. Vagyis érdemes a nehézségi erő által kijelölt függőleges tengelyű, és a rá merőleges vízszintes tengelyű koordinátarendszert választani sok esetben. És ilyenkor az erőket felbontjuk függőleges (y) illetve vízszintes (x) komponensekre, hogy a függőleges és vízszintes mozgást külön tárgyalhassuk. Hiszen a függőleges mozgást a nehézségi erő befolyásolja, de a vízszintes mozgást egyáltalán nem, mivel a nehézségi erőnek nincs vízszintes összetevője.
De a lejtőn lecsúszó test esete nem ilyen, hiszen ilyenkor a test a (ferde) lejtő mentén fog mozogni, vagyis a függőleges irány nem kitüntetett, hanem inkább a lejtő síkjában lefelé mutató irány a kitüntetett. Emiatt a test mozgását most nem függőleges-vízszintes (x-y) koordinátarendszerben érdemes leírni, hanem egy olyan vonatkoztatási rendszerben, aminek egyik tengelye a lecsúszó test mozgásirányába mutat, a másik tengelye pedig erre merőlegesen. Ezeket az irányokat a következő szimbólumokkal jelezzük:
- a \(\parallel\) párhuzamost jelent
- a \(\bot\) merőlegest jelent
Bontsuk fel hát az \(mg\) nehézségi erőt \(\parallel\) párhuzamos és a \(\bot\) merőleges összetevőkre (komponensekre)!
Fontos, hogy az \(mg\), az \(mg_{\parallel}\) és az \(mg_{\bot}\) erők nem "mindegyikük hat egyszerre", hanem arról van szó, hogy az \(mg\) erő helyettesíthető az \(mg_{\parallel}\) és az \(mg_{\bot}\) erőkomponensekkel, mivel ezek vektori össze pont kiadja az \(mg\) erőt. Emiatt amikor egy erőt (például az \(mg\)) erőt felbontunk komponensekre, onnantól kezdve már az eredeti erőt nem is szoktuk berajzolni az ábrába, hanem csak a komponenseit:
Ezek alapján az \(mg_{\parallel}\) erőkomponenes a testet a lejtő irányában (ferdén lefelé) gyorsítja. Ez lesz a felelős azért, hogy a lejtőn magára hagyott (elengedett) test egyáltalán elindul lefelé, hogy lecsúszik, méghozzá gyorsulva. Az \(mg_{\bot}\) erőkomponens azonban a lejtőre merőlegesen hat, pedig ebben az irányban a test nem fog csinálni semmit (hiszen a lejtőn fog mozogni végig), így ilyen irányban gyorsulása sem lehet. Hogy lehet ez? Ezt a problémát "oldja meg" a kényszererő. A lejtő (még súrlódásmentes esetben is) kifejt(het) egy \(K\) kényszererőt a rajta lévő testre. Ez az erő biztosítja, hogy a "geometriai jellegű" kényszerfeltétel - miszerint a test a lejtő síkján nem hatolhat át - mindig teljesüljön. A lejtő ferde falában mindig egy akkora nyomóerő ébred, amekkora ennek a feltételnek a teljesüléséhez szükséges. Jelen esetben, mivel az \(mg_{\bot}\) erőkomponens próbálja "átnyomni" a lejtő felületén a testet, így pont ekkora \(K\) kényszererő fog ébredni a lejtő falában, hogy megakadályozza a test lejtőn való "átszakadását". Vagyis egy lejtőre merőleges, és \(mg_{\bot}\) nagyságú erő:
Mivel az \(mg_{\bot}\) és a \(K\) kényszererő azonos nagyságúak és ellentétes irányúak, emiatt kioltják egymást, vagyis a test úgy fog mozogni, mintha ezek nem is lennének, vagyis mintha csak az \(mg_{\parallel}\) hatna a testre:
Ez az erő mekkora lejtőirányú ("párhuzamos") gyorsulást okoz a testen? Ehhez Newton II. törvényét felírjuk a lejtőirányú (párhuzamos) tengely mentén:
\[\Sigma F_{\parallel}=m\cdot a_{\parallel}\]
\[m\cdot g_{\parallel}=m\cdot a_{\parallel}\]
\[a_{\parallel}=g_{\parallel}\]
Vagyis akkora gyorsulással fog lecsúszni a test, amekkora a \(g\) nehézségi gyorsulásnak a lejtő irányába eső komponense, összetevője. Mekkora ez? Ehhez vizsgáljuk meg a szögeket:
Azt látjuk, hogy van egy derőkszögű háromszögünk, aminek az \(mg_{\parallel}\) az \(\alpha\) hegyesszöggel szemközti befogója, és \(mg\) az átfogója. Ilyenkor közöttük fennáll, hogy:
\[\sin \alpha=\frac{mg_{\parallel}}{mg}\]
amiből a keresett \(mg_{\parallel}\) lejtőirányú erőkomponens:
\[mg_{\parallel}=mg\cdot \sin \alpha\]
vagyis a nehézségi erőnek a lejtő irányába eső komponense \(\sin \alpha\)-szorosa a nehézségi erőnek. Az egyenletet elosztva a test \(m\) tömegével, kapjuk:
\[g_{\parallel}=g\cdot \sin \alpha\]
vagyis a súrlódásmentes lejtőn lévő, magára hagyott test gyorsulása a nehézségi gyorsulásnak a \(\sin \alpha\)-szorosa.
Ennek három speciális esete:
- Amikor a lejtő vízszintes. Ilyenkor \(\alpha=0\) miatt \(\sin \alpha =0\), így a lejtővel párhuzamos gyorsulás nulla, összehangban a tapasztalattal.
- Amikor a lejtő a legmeredekebb, azaz függőleges. Ilyenkor \(\alpha=90{}^\circ \) miatt \(\sin \alpha =1\), ezért a lejtővel párhuzamos gyorsulás azonos a nehézségi gyorsulással, szintén összhangban a tapasztalattal (a függőleges lejtőn úgy "esik lefelé" a test, mintha a lejtő ott se lenne).
- A vízszintessel 30º-os szöget bezáró lejtő esetén \(\sin 30{}^\circ =0,5\) miatt a lejtővel párhuzamos gyorsulás a nehézségi gyorsulásnak pont a fele.